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Magnetfeld einer kreisförmigen Leiterschleife

Wir wenden  das Biot-Savart'sche Gesetz auf die im Praktikum genutzte Leiterschleife an. Die Leiterschleife mit dem Radius R wird von einem konstanten Strom I durchflossen.

Abbildung 8: Schematische Darstellung einer
stromdurchflossenen Leiterschleife.

Animation

 

Sie befindet sich in der yz− Ebene und der Koordinatenursprung ist im Mittelpunkt der Leiterschleife. Der Vektor des Stromelements dl liegt in der yz− Ebene, dB und r liegen in der xy− Ebene.

Wir wollen nun das Magnetfeld berechnen. Hierzu beschränken wir uns auf das Feld, das entlang der x− Achse erzeugt wird.

Da dl und r senkrecht zueinander sind, gilt - unter Nutzung des Biot-Savart'schen Gesetzes - für den Betrag des Magnetfeldes des Stromelements

dB = \frac{\mu_0}{4 \pi}\cdot I\cdot \frac{dl}{r^2}~.

(10)

Nach Pythagoras folgt r2=R2+x2 , und durch Einsetzen in Gleichung (10) erhält man

dB = \frac{\mu_0}{4 \pi}\cdot I \cdot \frac{dl}{R^2+x^2}~.

(11)

Der Vektor dB läßt sich in eine radiale Komponente dBy und eine axiale Komponente dBx zerlegen (Abb. 8).

Für die radialen Komponenten des Magnetfeldes dBy gilt, dass sie sich aus Symmetriegründen paarweise aufheben. Man erhält somit für die radiale Komponente entlang der x -Achse

B_y = 0.

(12)

Die Komponenten dBx haben für alle Leiterelemente dl dieselbe Richtung. Ihre Addition ergibt eine positive Gesamtfeldstärke.

Aus Abbildung 8 erhält man für die x -Komponente des Magnetfeldes

dB_x = dB \cos \Theta = db \left[ \frac{R}{\sqrt{R^2+x^2}} \right]= \frac{\mu_0}{4 \pi}\cdot I \cdot \frac{dl}{R^2+x^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2+x^2}}~.

(13)

Um das Feld der gesamten Leiterschleife zu erhalten, integrieren wir über die gesamte Leiterschleife, die eine geschlossene Kreislinie ist.

B_x = \oint dB_x = \oint \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{IR}{(R^2+x^2)^{3/2}}dl~.

(14)

Die Größen x, R und I können wir vor das Integral ziehen, da sie nicht von der Integrationsvariablen abhängen. Damit erhält man

B_x = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{IR}{(R^2+x^2)^{3/2}} \oint dl~.

(15)

Das Linienintegral entlang einer Kreislinie ergibt gerade den Umfang des Kreises 2πR   , so dass das Endergebnis lautet:

B_x = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{IR}{(R^2+x^2)^{3/2}} \cdot (2 \pi R) =  \frac{\mu_0}{2}\cdot \frac{R^2I}{(R^2+x^2)^{3/2}}~.

(16)

Liegen N gleiche Leiterschleifen dicht beieinander, so ergibt sich das Gesamtmagnetfeld durch Multiplikation mit der Zahl der Windungen N .

B_x  = \frac{\mu_0}{2}\cdot \frac{N~R^2~I}{(R^2+x^2)^{3/2}}~.

(17)

In Abbildung 9 ist das Magnetfeld Bx als Funktion von x (in Einheiten des Spulenradius R) dargestellt.

Das Magnetfeld ist maximal bei x=0 und fällt für Abstände, die wesentlich größer sind als der Spulenradius R mit 1/x3, ab.

Abbildung 9: Qualitative Darstellung der x-Komponente des Magnetfeldes
als Funktion des axialen Abstands x von der Spulenmitte.

 

Animation

 

 

Soweit zum Magnetfeld einer Leiterschleife mit N (eng beieinander liegenden) Windungen, nun zum Helmholtzspulenpaar.