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Linsensysteme

Aus den genannten Linsenformen lassen sich in vielfältiger Weise und für die verschiedensten Zwecke Linsensysteme zusammenstellen, z. B. zur Beseitigung von Abbildungsfehlern.

In Abb. 16 befindet sich eine punktförmige Lichtquelle im Brennpunkt F1 der Linse (1), die daraus ein paralleles Lichtbündel macht. Die Linse (2) fokussiert das Licht wieder in ihrem Brennpunkt F2 .

Abbildung 16: Hintereinanderschaltung zweier Sammellinsen mit verschiedenen Brennweiten.

 

Werden die beiden Linsen zu einer einzigen zusammengefaßt und nah hintereinander aufgestellt, wird offenbar B der Bildpunkt des Gegenstandspunktes A. Die Brennweite f1 der Linse (1) wird zur Gegenstandsweite, die der Linse (2) zur Bildweite. Mit Hilfe der Linsenformel erhält man für die Brechkraft:

\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} =  \frac{1}{f}

(7)

oder für die Brennweite:

f = \frac{f_1 f_2}{f_1  + f_2}~.

(8)

Abbildung 17: Hintereinanderschaltung zweier Sammellinsen im Abstand d mit verschiedenen Brennweiten.

Wenn der Abstand A zwischen den Linsen nicht sehr klein ist (Abb. 17), muss ein Korrekturterm berücksichtigt werden. Es gilt dann:

\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}~.

(9)

Gleichung (9) kann man nun nutzen, um die Brennweite einer Zerstreuungslinse zu bestimmen. Weiterhin nutzt man die sogenannte Bessel'sche Methode, die darauf beruht, dass in der Abbildungsgleichung

\frac{1}{g} + \frac{1}{b}= \frac{1}{f}

die Bildweite b und die Gegenstandsweite g vertauschbar sind. Bei fester Stellung von Gegenstand und Mattscheibe gibt es deshalb zwei symmetrische Stellungen der Linse, die ein scharfes Bild ergeben, wobei g′=b und b′=g ist (Abb. 18).

Abbildung 18: Linsensystem an zwei verschiedenen Positionen.

 

Animation

 

Ist e der Abstand Gegenstand-Bild und a der Abstand der beiden Linsenstellungen, die bei festem e ein scharfes Bild ergeben, so ist nach Abb. 18:

(b+g) = e

(10)

und

g' - g = b - g = a.

(11)

Mit Hilfe der beiden Gleichungen (10) und (11) erhält man:

b = \frac{1}{2} (e+a)

(12)

g = \frac{1}{2} (e-a)~.

(13)

Setzt man dies in die Abbildungsgleichung ein, so erhält man die Bessel'sche Gleichung:

f = \frac{(e+a)(e-a)}{4e}~.

(14)