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Schwebung

Wir betrachten nun den Fall, dass zum Zeitpunkt t=0 Pendel 2 angestoßen wird und die Anfangsgeschwindigkeit v0 erhält, während Pendel 1 in Ruhe bleibt (Abb. 14).

Abbildung 14: Zur Zeit t=0 wird Pendel 2 angestoßen,
Pendel 1 ruht.

 

Animation

 

Die Anfangsbedingungen lauten somit:

v_ 1 = 0 ~;~ v_2 = v_0

Die Konstanten werden in gleicher Weise berechnet, wie in den vorausgegangenen Fällen. Man erhält:

0 = A \omega_g - C \omega_{gf}

(21)

v_0 = A \omega_g + C \omega_{gf}

(22)

\Longrightarrow A=\frac{v_0}{2\omega_g},~ C = \frac{v_0}{2\omega_{gf}}~.

(23)

Zur weiteren Diskussion der Bewegungsgleichung wählen wir eine Näherung. Wir nehmen an, dass die Kopplung der Pendel schwach ist. Dies bedeutet, dass sich die beiden Kreisfrequenzen ωg und ωgf nur wenig voneinander unterscheiden. Näherungsweise gilt:

\omega_{gf} \approx \omega_g ~,~ \omega_{gf} - \omega_{g} \ll \omega_{gf} + \omega_{g}.

(24)

In diesem Fall sind die Konstanten A und C gleich:

A = \frac{v_0}{2\omega_g} = C~.

Einsetzen der Konstanten in die allgemein gültigen Lösungen der Schwingungsgleichungen führt zu:

x_1 = \frac{v_0}{2\omega_{g}} \left( \sin ( \omega_{g}t ) - \sin ( \omega_{gf}t ) \right)

(25)

x_2 = \frac{v_0}{2\omega_{g}} \left( \sin (\omega_{g}t) + \sin ( \omega_{gf}t) \right)~.

(26)

Durch Anwendung der Additionstheoreme

\sin \alpha - \sin \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}

\sin \alpha + \sin \beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}~,

können die Gleichungen (25) und (26) in eine für die weitere Diskussion übersichtlichere Form gebracht werden. Man erhält:

x_1 = \frac{v_0}{\omega_g} \cos \frac{\omega_{gf} + \omega_g}{2}t  \cdot \sin \frac{\omega_g - \omega_{gf} }{2}t

(27)

x_2 = \frac{v_0}{\omega_g} \sin \frac{\omega_{gf} + \omega_g}{2}t  \cdot \cos\frac{\omega_g - \omega_{gf} }{2}t~.

(28)

Da ωgf > ωg ist, andererseits jedoch nur positive Kreisfrequenzen sinnvoll sind, müssen die Gleichungen (27), (28) unter Nutzung von

\sin(-\alpha) = - sin(\alpha)

\cos(-\alpha) = + \cos(\alpha)

umgeformt werden. Man erhält:

x_1 = - \frac{v_0}{\omega_g} \cos \frac{\omega_{gf} + \omega_g}{2}t  \cdot \sin \frac{\omega_{gf} - \omega_g }{2}t

(29)

x_2 = \frac{v_0}{\omega_g} \sin \frac{\omega_{gf} + \omega_g}{2}t  \cdot \cos\frac{\omega_{gf} - \omega_g}{2}t~.

(30)

Aus den Gleichungen (29), (30) ist zu sehen, dass die Bewegung eines jeden Pendels aus der Überlagerung zweier Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen besteht.

In Abb. 15 sind die Auslenkungen als Funktion der Zeit der beiden Pendel dargestellt. Sie sind um  90° gegeneinander phasenverschoben.

Abbildung 15: Auslenkungen der Pendel als Funktion der Zeit.
Es entsteht eine Schwebung.

 

Animation

 

Unter der in Gl. (24) gemachten Voraussetzung, dass die Frequenzen sich nur wenig unterscheiden - wenn nämlich die Kopplung schwach ist - ,können diese überlagerten Schwingungen (Koppelschwingungen genannt) als eine Schwingung der Frequenz

\frac{\omega_{gf} + \omega_g }{2}

angesehen werden, deren Amplitude mit der Frequenz

\frac{\omega_{gf} - \omega_g }{2}

schwankt. Diese Erscheinung wird als Schwebung bezeichnet.